六、假设检验

6.1 假设检验的基本思想和概念

  1. 基本思想

    以“女士品茶”为例，对于该女士有没有品茶的能力，有两种假设：该女士没有品茶能力和该女士有品茶能力。在统计上这两个非空不相交参数集合称作统计假设，简称假设。通过样本对一个假设作出对与不对的判断，则称为该假设的一个检验。若检验结果否定该命题，则称拒绝这个假设，否则就**接受（不拒绝）**这个假设。

    假设可分为两种：1. 参数假设检验，即已经知道数据的分布，针对总体的某个参数进行假设检验；2. 非参数假设检验，即数据分布未知，针对该分布进行假设检验。

  2. 假设检验的基本步骤

    建立假设—>选择检验统计量，给出拒绝域形式—>选择显著性水平—>给出拒绝域—>做出判断

    Step 1：建立假设

    主要针对参数假设检验问题

    设有来自某分布族${F(x,\theta)|\theta\in\Theta}$ 样本$x_1,…,x_n$，其中$\Theta$ 参数空间，设$\Theta_0\in\Theta$，且$\Theta_0\neq\phi$，则命题$H_0:\theta\in\Theta_0$ 为原假设或零假设（null hypothesis），若有另一个$\Theta_1$（$\Theta_1\in\Theta,\Theta_1\Theta_0=\phi$，常见的一种情况是$\Theta_1=\Theta-\Theta_0$），则命题$H_1:\theta\in\Theta_1$ 为$H_0$ 对立假设或备择假设（alternative hypotheis），当$H_0$ 简单假设，即$\Theta_0$ 含一个点时，备择假设有三种可能：$H_1’:\theta\neq\theta_0$，$H_1’’:\theta<\theta_0$，$H_1’’’:\theta>\theta_0$。

    Step 2：选择检验统计量，给出拒绝域形式

    根据样本计算统计量$Z$（如样本均值、标准差等，称为检验统计量），并基于某个法则既可以决定接受$H_0$ 是拒绝$H_0$，具体地，当统计量在拒绝域$W$ 即拒绝$H_0$，在接受域$\overline{W}$ 即接受$H_0$。由此可见，一个拒绝域$W$ 一确定一个检验法则，反之，一个检验法则也唯一确定一个拒绝域。

    注：不能用一个样本（例子）证明一个命题（假设成立），但是可以用一个样本（例子）去推翻一个命题。此外，拒绝域与接受域之间有一个模糊域，即统计量恰好符合法则，通常将模糊域归为接受域，因此接受域是复杂的。

    Step 3：选择显著性水平

    假设检验基于小概率事件，即小概率事件在一次试验中几乎不会发生，因此选择一个很小的概率值$\alpha$，令$p(拒绝H_0|H_0为真)\leq\alpha$，表示$Z\in W$ 一个小概率事件，在一次试验中不应该发生。如果通过样本得到的统计量$z\in W$，即不该发生的小概率事件竟然发生了，那么应该拒绝$H_0$。

    由于向本是随机的，通常做检验时可能做出错误判断，由此引入了两个错误，分别为第一类错误和第二类错误，如下表所示。

    观测数据情况 总体情况 总体情况
    $H_0$ 真 $H_1$ 真
    接受$H_0$ 第一类错误（拒真） 正确
    拒绝$H_0$ 正确 犯第二类错误（取伪）

    犯第一类错误概率：$\alpha=P(X\in W|H_0)$，即$\alpha=P(拒绝H_0|H_0为真)$；

犯第二类错误概率：$\beta=P(X\in \overline{W}|H_1)$，即$\beta=P(接受H_0|H_0为假)$。

可以证明的，在一定样本量下，两类错误概率无法共同减小，但是当样本增加时，可以同时减小。

证明该问题需要引入是函数，下面将简单介绍势函数，但不对上述结论证明。

定义：设检验问题$H_0:\theta\in\Theta_0\quad vs\quad H_1:\theta \in \Theta_1$ 拒绝域为$W$，则样本观测值$\mathbf{X}$ 在拒绝域$W$ 的概率称为该检验的势函数，记为

$$
g(\theta)=P_\theta(\mathbf{X}\in W),\ \theta\in\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1\
g(\theta)=\left{\begin{matrix}
\alpha(\theta) & \theta\in\Theta_0\
1-\beta(\theta) &\theta\in\Theta_1
\end{matrix}\right.
$$

第一类错误概率$\alpha$ 为初始设定的很小的概率，称为置信水平，称该检验时显著性水平为$\alpha$ 显著性检验，简称水平为$\alpha$ 检验。为了尽量减少两类错误，可简单的将其简化为减小第一类错误概率（第二类错误概率难求）。常用的$\alpha=0.05$ 时也选择 0.1 或 0.01。

Step 4：给出拒绝域

为了使得第一类错误的概率尽可能小，给定一个较小的$\alpha$，并选择一个数$k$，设定若$Z\geq k$ 绝$H_0$，使得$P(u=|\frac{z-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}|\geq k)\leq \alpha$，所以$k=u_{\alpha/2}$。

注：算拒绝域时，需基于标准正态分布。

Step 5：做出判断

通过样本计算统计量，若统计量在拒绝域中，则拒绝原假设，否则接受原假设。

  1. **检验的$p$ **

    不同置信水平$\alpha$ 取值，可能会存在不同的结果。因此引入新的指标，即利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显著水平，称为**检验的$p$ **。由检验的$p$ 与心目中的显著性水平$\alpha$ 行比较，可以容易做出检验结论：

    • 若$\alpha\geq p$，则在显著性水平$\alpha$ 拒绝$H_0$；
    • 若$\alpha<p$，则在显著性水平$\alpha$ 接受$H_0$.

    注：一般以$p<0.05$ 为有统计学差异， $p<0.01$ 为有显著统计学差异，$p<0.001$ 有极其显著的统计学差异。