VAE

说起生成模型，大家最容易想到的就是GAN，GAN是通过对抗训练实现的一种隐式生成模型。虽然GAN很强大，但其实还有很多与GAN不同的生成模型，最常见的就是基于最大化似然的模型，变分自动编码器（Variational Autoencoder，VAE）就属于这种类型。

自动编码器（Autoencoder，AE）

再讲VAE之前，有必要先简单介绍一下自动编码器AE，自动编码器是一种无监督学习方法，它的原理很简单：先将高维的原始数据映射到一个低维特征空间，然后从低维特征学习重建原始的数据。一个AE模型包含两部分网络：

• Encoder：将原始的高维数据映射到低维特征空间，这个特征维度一般比原始数据维度要小，这样就起到压缩或者降维的目的，这个低维特征也往往成为中间隐含特征（latent representation）；

• Decoder：基于压缩后的低维特征来重建原始数据；

如上图所示，这里$g_{\phi}$ encoder网络的映射函数（网络参数为$\phi$），而$f_{\theta}$ decoder网络的映射函数（网络参数为$\theta$）。那么对于输入$\mathbf{x}$，可以通过encoder得到隐含特征$\mathbf{z}=g_{\phi}(\mathbf{x})$，然后decoder可以从隐含特征对原始数据进行重建：$\mathbf{x}’=f_{\theta}(\mathbf{z})=f_{\theta}(g_{\phi}(\mathbf{x}))$。我们希望重建的数据和原来的数据近似一致的，那么AE的训练损失函数可以采用简单的MSE：

$$L_\text{AE}(\theta, \phi) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\mathbf{x}^{(i)} - f_\theta(g_\phi(\mathbf{x}^{(i)})))^2 \$$

由于训练AE并不需要对数据进行标注，所以AE是一种无监督学习方法。由于压缩后的特征能对原始数据进行重建，所以我们可以用AE的encoder对高维数据进行压缩，这和PCA非常类似，当然得到的隐含特征也可以用来做一些其它工作，比如相似性搜索等。 ​

AE有很多变种，比如经典的去噪自编码器（Denoising Autoencoder，DAE），与原始AE不同的是，在训练过程先对输入$\mathbf{x}$ 行一定的扰动，比如增加噪音或者随机mask掉一部分特征。相比AE，DAE的重建难度增加，这也使得encoder学习到的隐含特征更具有代表性。

作为一种无监督学习方法，AE除了可以对数据降维，还可以用来对深度网络进行预训练。在深度学习早期，由于存在数据和算力限制，训练深度模型是比较困难的，所以常常采用无监督学习方法先对网络进行预训练，然后在具体的任务上进行有监督finetune，经典的工作如基于DAE的堆叠去噪自编码器（Stacked Denoising Autoencoder，SDA）和基于RBM的深度信念网络（Deep Belief Network，DBN）。

然而，随着大数据的出现（比如包含1.3M图像的ImageNet数据集）以及网络架构的优化（如ResNet的出现），这种训练方式基本被弃用了，目前的主流方式是先在大规模有标注数据集上预训练，然后用预训练初始化的模型来训练具体的任务。由于标注数据存在成本，但收集大规模无标注数据相对容易，所以最近又开始了无监督训练研究的热潮，一些基于对比学习的自监督方法如Moco和SimCLR等已经可以达到和ImageNet有标注监督训练类似的效果。而今年来，随着vision transformer的大爆发，又出现了基于MIM（mask image modeling)的自监督方法，如MAE和SimMIM，它们都是采用和AE类似的设计架构，这让基于AE的无监督训练方法再次卷土重来。

变分自动编码器（Variational Autoencoder，VAE）

VAE虽然名字里也带有自动编码器，但这主要是因为VAE和AE有着类似的结构，即encoder和decoder这样的架构设计。实际上，VAE和AE在建模方面存在很大的区别，从本质上讲，VAE是一种基于变分推断（Variational Inference, Variational Bayesian methods）的概率模型（Probabilistic Model），它属于生成模型（当然也是无监督模型）。在变分推断中，除了已知的数据（观测数据，训练数据）外还存在一个隐含变量，这里已知的数据集记为$\mathbf{X}={x^{(i)}}_{i=1}^N$ $N$ 连续变量或者离散变量$\mathbf{x}$ 成，而未观测的随机变量记为$\mathbf{z}$，那么数据的产生包含两个过程：

1. 从一个先验分布$p_{\theta}(\mathbf{z})$ 采样一个$\mathbf{z}^{(i)}$；
2. 根据条件分布$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$，用$\mathbf{z}^{(i)}$ 成$\mathbf{x}^{(i)}$。

这里的$\theta$ 的是分布的参数，比如对于高斯分布就是均值和标准差。我们希望找到一个参数$\theta^*$ 最大化生成真实数据的概率：

$$\theta^{*} = \arg\max_\theta \prod_{i=1}^n p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}) \$$

这里$p_\theta(\mathbf{x}^{(i)})$ 以通过对$\mathbf{z}$ 分得到：

$$p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}) = \int p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}\vert\mathbf{z}) p_\theta(\mathbf{z}) d\mathbf{z} \$$

而实际上要根据上述积分是不现实的，一方面先验分布$p_{\theta}(\mathbf{z})$ 未知的，而且如果分布比较复杂，对$\mathbf{z}$ 举计算也是极其耗时的。为了解决这个难题，变分推断引入后验分布$p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ 联合建模，根据https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem，后验等于：

$$p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) = \frac{p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})p_{\theta}(\mathbf{z})}{p_{\theta}(\mathbf{x})} \$$

这样的联合建模如上图所示，实线代表的是我们想要得到的生成模型$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})p_\theta(\mathbf{z})$，其中先验分布$p_{\theta}(\mathbf{z})$ 往是事先定义好的（比如标准正态分布），而$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$ 以用一个网络来学习，类比AE的话，如果把$\mathbf{z}$ 成隐含特征，那么这个网络就可以看成一个probabilistic decoder。虚线代表的是对后验分布$p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ 变分估计，记为$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$，它也可以用一个网络来学习，这个网络可以看成一个probabilistic encoder。可以看到，VAE和AE在架构设计上是类似的，只不过这里probabilistic encoder和probabilistic decoder学习的是两个分布。对于VAE来说，最终目标是得到生成模型即decoder，而encoder只是为了辅助建模，但对于AE来说，常常是为了得到encoder来进行特征提取或者压缩。 ​

建模已经完成，下面我们来推导一下VAE的优化目标。对于估计的后验$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$，我们希望它接近真实的后验分布$p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$，评估两个分布差异最常用的方式就是计算KL散度（Kullback-Leibler divergence）。对$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ $p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ 算KL散度，如下所示： ​

$$\begin{aligned} & D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) ) & \ &=\int q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x}) \log\frac{q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})}{p_\theta(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})} d\mathbf{z} & \ &=\int q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x}) \log\frac{q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})p_\theta(\mathbf{x})}{p_\theta(\mathbf{z}, \mathbf{x})} d\mathbf{z} & \scriptstyle{\text{; Because }p(z \vert x) = p(z, x) / p(x)} \ &=\int q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x}) \big( \log p_\theta(\mathbf{x}) + \log\frac{q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})}{p_\theta(\mathbf{z}, \mathbf{x})} \big) d\mathbf{z} & \ &=\log p_\theta(\mathbf{x}) + \int q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})\log\frac{q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})}{p_\theta(\mathbf{z}, \mathbf{x})} d\mathbf{z} & \scriptstyle{\text{; Because }\int q(z \vert x) dz = 1}\ &=\log p_\theta(\mathbf{x}) + \int q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})\log\frac{q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})}{p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})p_\theta(\mathbf{z})} d\mathbf{z} & \scriptstyle{\text{; Because }p(z, x) = p(x \vert z) p(z)} \ &=\log p_\theta(\mathbf{x}) + \mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})}[\log \frac{q_\phi(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})}{p_\theta(\mathbf{z})} - \log p_\theta(\mathbf{x} \vert \mathbf{z})] &\ &=\log p_\theta(\mathbf{x}) + D_\text{KL}(q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z})) - \mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})}\log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) & \end{aligned}\$$

最终可以得到：

$$D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) ) =\log p_\theta(\mathbf{x}) + D_\text{KL}(q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z})) - \mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})}\log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) \$$

这里我们适当调整一下上述等式中各个项的位置，可以得到：

$$\log p_\theta(\mathbf{x}) - D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) ) = \mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})}\log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) - D_\text{KL}(q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z})) \$$

这里$\log p_\theta(\mathbf{x})$ 生成真实数据的对数似然，对于生成模型，我们希望最大化这个对数似然，而$D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) )$ 估计的后验分布和真实分布的KL散度，我们希望最小化该KL散度（KL散度为0时两个分布没有差异），所以上述等式的左边就是联合建模的最大化优化目标，这等价于最大化等式的右边。这个等式的右边又称为Evidence lower bound，简称为ELBO，这主要是因为$p_\theta(\mathbf{x})$ 般称为evidence，而由于KL散度的非负性，所以有下述不等式：

$$\log p_\theta(\mathbf{x}) \geq \mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})}\log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) - D_\text{KL}(q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z})) \$$

所以ELBO是evidence的下限，https://en.wikipedia.org/wiki/Evidence_lower_bound是变分推断中经常用到的优化目标。对于VAE，ELBO取负就是其要最小化的训练目标：

$$\begin{aligned} L_\text{VAE}(\theta, \phi) &= - \mathbb{E}{\mathbf{z} \sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})} \log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) + D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z}) ) \ \theta^{}, \phi^{} &= \arg\min_{\theta, \phi} L_\text{VAE} \end{aligned}\$$

对于优化目标的第二项，即计算$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ $p_\theta(\mathbf{z})$ KL散度，首先我们必须要对两个分布做一定的假设：

$$\begin{aligned} &q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)}) = \mathcal{N}(\mathbf{z}; \boldsymbol{\mu}^{(i)}, \boldsymbol{\sigma}^{2(i)}\boldsymbol{I}) & \ &p_{\theta}(\mathbf{z}) = \mathcal{N}(\mathbf{z}, 0, \boldsymbol{I}) \end{aligned}\$$

即$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ 各分量独立的多元高斯分布（协方差矩阵为对角矩阵），那么encoder网络预测的就是高斯分布的均值$\boldsymbol{\mu}$ 方差$\boldsymbol{\sigma}^2$（实际处理时预测$\log\boldsymbol{\sigma}^2$，因为该值是无约束的）。而先验$p_\theta(\mathbf{z})$ 标准正态分布，这样就变成了计算两个多元高斯分布的KL散度。对于多元高斯分布，其概率密度函数为：

$$\begin{equation}p(\mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det(\boldsymbol{\Sigma})}}\exp\left{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right}\end{equation} \$$

对于两个多元高斯分布，其KL散度计算推导如下：

$$\begin{aligned} \text{KL}(p_1||p_2) &= \text{E}{p_1}(\log(p_1) - \log(p_2)) \ &= -\frac{1}{2}\text{E}{p_1}[\log(\det(\boldsymbol{\Sigma_1}))+(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}_1^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1}) - \log(\det(\boldsymbol{\Sigma_2}))-(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}2^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2}) ]\ &= \frac{1}{2}\log\frac{\det(\boldsymbol{\Sigma_2})}{\det(\boldsymbol{\Sigma_1})} +\frac{1}{2}\text{E}{p_1}[-(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}_1^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1}) +(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}2^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2})] \ &= \frac{1}{2}\log\frac{\det(\boldsymbol{\Sigma_2})}{\det(\boldsymbol{\Sigma_1})} +\frac{1}{2}\text{E}{p_1}[-\text{tr}((\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}_1^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1})) +\text{tr}((\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}2^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2}))]\ &= \frac{1}{2}\log\frac{\det(\boldsymbol{\Sigma_2})}{\det(\boldsymbol{\Sigma_1})} +\frac{1}{2}\text{E}{p_1}[-\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}_1^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1})(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1})^{\top}) +\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}_2^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2})(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2})^{\top})] \ &= \frac{1}{2}\log\frac{\det(\boldsymbol{\Sigma_2})}{\det(\boldsymbol{\Sigma_1})} -\frac{1}{2}\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}1^{-1}\text{E}{p_1}[(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1})(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_1})^{\top}]) +\frac{1}{2}\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}2^{-1}\text{E}{p_1}[(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2})(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu_2})^{\top}]) \ &= \frac{1}{2}\log\frac{\det(\boldsymbol{\Sigma_2})}{\det(\boldsymbol{\Sigma_1})} -\frac{1}{2}\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}_1^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_1) +\frac{1}{2}\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}2^{-1}\text{E}{p_1}[(\mathbf{x}\mathbf{x}^{\top}-\mathbf{x}\boldsymbol{\mu_2}^{\top}- \boldsymbol{\mu_2}\mathbf{x}^{\top}+\boldsymbol{\mu_2}\boldsymbol{\mu_2}^{\top}])\ &= \frac{1}{2}\log\frac{\det(\boldsymbol{\Sigma_2})}{\det(\boldsymbol{\Sigma_1})} -\frac{1}{2}n +\frac{1}{2}\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}_2^{-1}(\boldsymbol{\Sigma}_1+\boldsymbol{\mu_1}\boldsymbol{\mu_1}^{\top}-\boldsymbol{\mu_1}\boldsymbol{\mu_2}^{\top}-\boldsymbol{\mu_2}\boldsymbol{\mu_1}^{\top}+\boldsymbol{\mu_2}\boldsymbol{\mu_2}^{\top})) \ &= \frac{1}{2}\log\frac{\det(\boldsymbol{\Sigma_2})}{\det(\boldsymbol{\Sigma_1})} -\frac{1}{2}n +\frac{1}{2}\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}_2^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_1)+\frac{1}{2}(\boldsymbol{\mu_2}-\boldsymbol{\mu_1})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}_2^{-1}(\boldsymbol{\mu_2}-\boldsymbol{\mu_1}) \ &= \frac{1}{2}(\text{tr}(\boldsymbol{\Sigma}_2^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_1)+(\boldsymbol{\mu_2}-\boldsymbol{\mu_1})^{\top}\boldsymbol{\Sigma}_2^{-1}(\boldsymbol{\mu_2}-\boldsymbol{\mu_1})-n+\log\frac{\det(\boldsymbol{\Sigma_2})}{\det(\boldsymbol{\Sigma_1})}) \end{aligned}\$$

上述公式的推导涉及到一些线性代数的知识，如矩阵的迹运算（tr)，如果不明白可以参考https://kexue.fm/archives/8512。根据上述公式，就可以计算出$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ $p_\theta(\mathbf{z})$ KL散度：

$$\begin{aligned} \text{KL}(q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)})||p_{\theta}(\mathbf{z})) &= \text{KL}(\mathcal{N}(\mathbf{z}; \boldsymbol{\mu}^{(i)}, \boldsymbol{\sigma}^{2(i)}\boldsymbol{I})||\mathcal{N}(\mathbf{z}, 0, \boldsymbol{I}) )\ &= \frac{1}{2}\Big(\text{tr}(\boldsymbol{\sigma}^{2(i)}\boldsymbol{I})+(\boldsymbol{\mu}^{(i)})^{\top}\boldsymbol{\mu}^{(i)}-n-\log\det{\boldsymbol{\sigma}^{2(i)}\boldsymbol{I}}\Big) \ &= \frac{1}{2}\sum_{j=0}^{n}\Big( (\sigma^{(i)}_j)^2+ (\mu^{(i)}_j)^2 - 1- \log((\sigma^{(i)}_j)^2) \Big) \end{aligned}\$$

这里$n$ 的多元高斯分布分量的总数，或者说是隐变量$\mathbf{z}$ 元素数量。实际上由于$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ 各分量独立的多元高斯分布，这个计算可以简化为先计算单独计算各分量的的KL散度（即一元正态分布），然后对各分量的KL散度求和，因为一元正态分布的KL散度相对容易推导：

$$\begin{aligned}&\text{KL}\Big(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\Big\Vert \mathcal{N}(0,1)\Big)\ =&\text{E}{x \thicksim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\Big[\log \frac{e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}/\sqrt{2\pi\sigma^2}}{e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}}\Big]\ =&\text{E}{x \thicksim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\Big[\log (\frac{1}{\sqrt{\sigma^2}}\exp(\frac{1}{2}(x^2-(x-\mu)^2/\sigma^2) )\Big]\ =&\frac{1}{2}\text{E}_{x \thicksim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\Big[-\log \sigma^2+x^2-(x-\mu)^2/\sigma^2 \Big]\ =& \frac{1}{2}(-\log \sigma^2+\sigma^2 + \mu^2-1) \end{aligned}\$$

综上，对于训练数据的一个样本$\mathbf{x}^{(i)}$，其KL散度项的优化目标为：

$$D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)}) | p_\theta(\mathbf{z}) ) =\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{n}\Big( (\sigma^{(i)}_j)^2+ (\mu^{(i)}_j)^2 - 1- \log((\sigma^{(i)}_j)^2) \Big) \$$

现在我们来分析优化目标的第一项$-\mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})}\log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$，它一般被称为重建误差（reconstruction error），因为$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$ 是给定$\mathbf{z}$ 生成真实数据$\mathbf{x}$ 似然（Likelihood）。对于一个给定的训练样本$\mathbf{x}^{(i)}$，我们可以采蒙特卡洛方法（https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method）来估计这个数学期望，即从$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)})$ 次采样来估计：

$$-\mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)})}\log p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}\vert\mathbf{z})\thickapprox-\frac{1}{L}\sum_{l=1}^{L}(\log p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}\vert\mathbf{z}^{(i,l)})) \$$

这里的$L$ 采样的总次数，实际上在具体实现上往往$L=1$，即只随机采样一次（VAE论文中说当训练的mini-batch size足够大时，采样一次是有效的）。另外一个困难的地方，从$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)})$ 样这个操作是无法计算梯度的，VAE采用一种重参数化（reparameterization）技巧来解决这个问题，具体地，通过引入一个额外的独立随机变量$\boldsymbol{\epsilon} \thicksim p(\boldsymbol{\epsilon})$ 将随机变量$\mathbf{z}$ 变成确定变量：$\mathbf{z}=g_{\phi}(\mathbf{x},\boldsymbol{\epsilon})$。由于$q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})$ 经假定为多元高斯分布，使用重采样技巧后则为：

$$\begin{aligned} \mathbf{z} &\sim q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)}) = \mathcal{N}(\mathbf{z}; \boldsymbol{\mu}^{(i)}, \boldsymbol{\sigma}^{2(i)}\boldsymbol{I}) & \ \mathbf{z} &= \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\sigma} \odot \boldsymbol{\epsilon} \text{, where } \boldsymbol{\epsilon} \sim \mathcal{N}(0, \boldsymbol{I}) & \scriptstyle{\text{; Reparameterization trick.}} \end{aligned}\$$

直观上讲，就是首先从标准正态分布随机采样一个样本，然后乘以encoder预测的标准差，再加上encoder预测的均值，这样就能计算该损失对encoder网络参数的梯度了。

根据建模的数据类型，$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$ 布可以是一个高斯分布也可以是一个伯努利分布，这里以更通用的高斯分布为例。假定$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$ 布也属于一个各分量独立的多元高斯分布：$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) = \mathcal{N}(\mathbf{x}; \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\sigma}^{2}\boldsymbol{I})$。由于各个分量独立，所以我们可以单独计算每个分量：

$$\begin{aligned} \log p(x|z) &= \log \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \ &= \log \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} - \frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2 \end{aligned}\$$

对于这个高斯分布的标准差，我们往往假定它是一个常量，而均值是由decoder预测得出：$\boldsymbol{\mu}=f_{\theta}(\mathbf {z})$。那么则有：

$$-\log p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}\vert\mathbf{z}^{(i,l)}) = C_1+C_2\sum_{d}^{D}(\mathbf{x}^{(i)}d-(f{\theta}(\mathbf{z}^{(i,l)}))_d)^2 \$$

这里$C_1$ $C_2$ 是常量，而$D$ 变量$\mathbf{x}$ 维度大小。如果忽略常量$C_1$ 话，那么重建误差其实就是L2损失。上面我们是假定$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$ 布是一个高斯分布，如果$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$ 一个伯努利分布即0-1分布的话，此时decoder直接预测概率值（sigmoid激活函数），重建误差就是交叉熵，：

$\log p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z})=\sum_{d}^{D}\Big(\mathbf{x}d\log(f{\theta}(\mathbf{z})_d)+(1-\mathbf{x}d)\log(1-f{\theta}(\mathbf{z})_d)\Big) \$

根据上述分析，对给定的一个训练样本$\mathbf{x}^{(i)}$，其训练损失（假定是高斯分布）为：

$$\begin{aligned} L_\text{VAE}(\theta, \phi, \mathbf{x}^{(i)}) &= - \mathbb{E}{\mathbf{z} \sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)})} \log p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}\vert\mathbf{z}) + D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)}) | p_\theta(\mathbf{z}) ) \ &\thickapprox-\frac{1}{L}\sum_{l=1}^{L}(\log p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}\vert\mathbf{z}^{(i,l)})) + D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)}) | p_\theta(\mathbf{z}) ) \ &=\frac{C}{L}\sum_{l=1}^{L}\sum_{d}^{D}(\mathbf{x}^{(i)}d-(f{\theta}(\mathbf{z}^{(i,l)}))d)^2 + \frac{1}{2}\sum{j=0}^{n}\Big( (\sigma^{(i)}_j)^2+ (\mu^{(i)}_j)^2 - 1- \log((\sigma^{(i)}_j)^2) \Big) \end{aligned}\$$

如果把KL散度项看到一个正则化的话，那么VAE的损失函数就是重建误差+正则化，这样VAE就可以看成是一个加了约束的AE。VAE的整个训练流程如下所示：输入$\mathbf{x}$，encoder首先计算出后验分布的均值和标准差，然后通过重采样方法采样得到隐变量$\mathbf{z}$，然后送入decoder得到重建的数据$\mathbf{x}’$。

训练完成后，我们就得到生成模型$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})p_\theta(\mathbf{z})$，其中$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})$ 是decoder网络，而先验$p_\theta(\mathbf{z})$ 标准正态分布，我们从$p_\theta(\mathbf{z})$ 机采样一个$\mathbf{z}$，送入decoder网络，就能生成与训练数据$\mathbf{X}$ 似的样本。

CVAE

条件变分自编码器（Conditional Variational Autoencoder，CVAE）是VAE的一个变种，相比VAE，CVAE要估计的是一个条件分布$p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{y})$，同样地，我们引入隐变量$\mathbf{z}$ 进行变分推断。此时，给定一个输入$\mathbf{y}$，从先验分布$p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})$ 采样一个$\mathbf{z}$，然后根据分布$p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z},\mathbf{y})$ 成一个样本$\mathbf{x}$，因而这里要求解的生成模型是$p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z},\mathbf{y})$。这个生成模型可以用两个网络来学习，其中一个网络来学习先验分布$p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})$，另外一个网络来学习条件分布$p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z},\mathbf{y})$。在VAE，我们假定先验$p_{\theta}(\mathbf{z})$ 标准正态分布，因为不需要单独的网路来学习；而在CVAE中，先验分布$p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})$ 一种条件先验，如果假定$\mathbf{z}$ 独立与$\mathbf{y}$ 话，那么此时先验分布$p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})=p_{\theta}(\mathbf{z})$，更进一步地也可以简化认为先验为标准正态分布。 同样地，我们另外采用一个网络$q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{x},\mathbf{y})$ 估计后验分布$p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{x},\mathbf{y})$。同样地，我们可以推导出ELBO：

$$\log p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{y}) \geq \mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x},\mathbf{y})}\log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z},\mathbf{y}) - D_\text{KL}(q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x},\mathbf{y}) | p_\theta(\mathbf{z}\vert \mathbf{y})) \$$

那么对于CVAE，其优化目标为：

$$\begin{aligned} L_\text{CVAE}(\theta, \phi) &= - \mathbb{E}{\mathbf{z} \sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x},\mathbf{y})} \log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}, \mathbf{y}) + D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}, \mathbf{y}) | p_\theta(\mathbf{z}\vert \mathbf{y}) ) \ \theta^{}, \phi^{} &= \arg\min_{\theta, \phi} L_\text{CVAE} \end{aligned}\$$

对于上述优化目标的处理，同样地可以采用和VAE一样的分析过程，这里不再详细展开，具体见https://papers.nips.cc/paper/2015/hash/8d55a249e6baa5c06772297520da2051-Abstract.html。下图为CVAE的一种实现方式（这里先验简化为标准正态分布）：

​

对于VAE和CVAE，它们最重要的区别是数据是如何生成的，对于VAE，数据的产生认为是$p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})p_\theta(\mathbf{z})$，而对于CVAE，其数据的产生是$p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z},\mathbf{y})$，不同的数据产生方式导致了不同的建模方式和ELBO，但两者用的变分推断理论是一致的。 ​

VAE的代码实现

这里以MNIST数据集为例用PyTorch实现一个简单的VAE生成模型，由于MNIST数据集为灰度图，而且大部分像素点为0（黑色背景）或者白色（255，前景），所以这里可以将像素值除以255归一化到[0, 1]，并认为像素值属于伯努利分布，重建误差采用交叉熵。 首先是构建encoder，这里用简单的两层卷积和一个全连接层来实现，encoder给出隐变量的mu和log_var：

class Encoder(nn.Module):
    """The encoder for VAE"""
    
    def __init__(self, image_size, input_dim, conv_dims, fc_dim, latent_dim):
        super().__init__()
        
        convs = []
        prev_dim = input_dim
        for conv_dim in conv_dims:
            convs.append(nn.Sequential(
                nn.Conv2d(prev_dim, conv_dim, kernel_size=3, stride=2, padding=1),
                nn.ReLU()
            ))
            prev_dim = conv_dim
        self.convs = nn.Sequential(*convs)
        
        prev_dim = (image_size // (2 ** len(conv_dims))) ** 2 * conv_dims[-1]
        self.fc = nn.Sequential(
            nn.Linear(prev_dim, fc_dim),
            nn.ReLU(),
        )
        self.fc_mu = nn.Linear(fc_dim, latent_dim)
        self.fc_log_var = nn.Linear(fc_dim, latent_dim)
                    
    def forward(self, x):
        x = self.convs(x)
        x = torch.flatten(x, start_dim=1)
        x = self.fc(x)
        mu = self.fc_mu(x)
        log_var = self.fc_log_var(x)
        return mu, log_var

对于decoder，基本采用对称的结构，这里用反卷积来实现上采样，decoder根据隐变量重构样本或者生成样本：

class Decoder(nn.Module):
    """The decoder for VAE"""
    
    def __init__(self, latent_dim, image_size, conv_dims, output_dim):
        super().__init__()
        
        fc_dim = (image_size // (2 ** len(conv_dims))) ** 2 * conv_dims[-1]
        self.fc = nn.Sequential(
            nn.Linear(latent_dim, fc_dim),
            nn.ReLU()
        )
        self.conv_size = image_size // (2 ** len(conv_dims))
        
        de_convs = []
        prev_dim = conv_dims[-1]
        for conv_dim in conv_dims[::-1]:
            de_convs.append(nn.Sequential(
                nn.ConvTranspose2d(prev_dim, conv_dim, kernel_size=3, stride=2, padding=1, output_padding=1),
                nn.ReLU()
            ))
            prev_dim = conv_dim
        self.de_convs = nn.Sequential(*de_convs)
        self.pred_layer = nn.Sequential(
            nn.Conv2d(prev_dim, output_dim, kernel_size=3, stride=1, padding=1),
            nn.Sigmoid()
        )
        
    def forward(self, x):
        x = self.fc(x)
        x = x.reshape(x.size(0), -1, self.conv_size, self.conv_size)
        x = self.de_convs(x)
        x = self.pred_layer(x)
        return x

有了encoder和decoder，然后就可以构建VAE模型了，这里的实现只对隐变量通过重采样方式采样一次，训练损失为KL散度和重建误差（交叉熵）之和：

class VAE(nn.Module):
    """VAE"""
    
    def __init__(self, image_size, input_dim, conv_dims, fc_dim, latent_dim):
        super().__init__()
        
        self.encoder = Encoder(image_size, input_dim, conv_dims, fc_dim, latent_dim)
        self.decoder = Decoder(latent_dim, image_size, conv_dims, input_dim)
        
    def sample_z(self, mu, log_var):
        """sample z by reparameterization trick"""
        std = torch.exp(0.5 * log_var)
        eps = torch.randn_like(std)
        return mu + eps * std
    
    def forward(self, x):
        mu, log_var = self.encoder(x)
        z = self.sample_z(mu, log_var)
        recon = self.decoder(z)
        return recon, mu, log_var
    
    def compute_loss(self, x, recon, mu, log_var):
        """compute loss of VAE"""
        
        # KL loss
        kl_loss = (0.5*(log_var.exp() + mu ** 2 - 1 - log_var)).sum(1).mean()
        
        # recon loss
        recon_loss = F.binary_cross_entropy(recon, x, reduction="none").sum([1, 2, 3]).mean()
        
        return kl_loss + recon_loss

模型训练完成，可以从标准正态分布随机采样，然后生成新的样本，下图为一些模型生成的样本：

VAE虽然主要用于生成，但是作为一种无监督学习方法，也能用于提取特征，下图为从MNIST验证集中提取的中间隐含层特征（encoder属于的mu）的TSNE可视化，可以看到不同类别的隐含特征具有一定的区分度：

这里额外要提的一点，VAE模型比较容易出现posterior collapse问题，简单来说，就是由于decoder足够强大，可以不依赖隐变量而直接学习到了数据分布，此时：$q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{x})=p_{\theta}(\mathbf{z}),p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z})=p_{\theta}(\mathbf{x})$。这对生成模型没有太大的问题，但是如果你用VAE提取特征的话，就不行了，因为隐变量和原始数据之间没有联系了。这个问题具体可以看看这篇文章https://openreview.net/forum?id=r1xaVLUYuE。对于posterior collapse问题，也有很多改进方案来解决或者避免，比如VQ-VAE，后面会有新的文章来讲解。

代码的实现放在github上，具体见https://github.com/xiaohu2015/nngen

总结

这篇文章简单讲述了自动编码器的原理，并重点介绍了VAE模型的原理以及它和AE之间的联系，最后给出了一个具体的VAE代码实例。VAE模型涉及比较复杂的数学建模，理解它需要花费一定的精力，这里特别感谢一些优秀的文章（见参考）。 ​

参考

• https://lilianweng.github.io/lil-log/2018/08/12/from-autoencoder-to-beta-vae.html
• https://arxiv.org/abs/1312.6114
• https://arxiv.org/abs/1606.05908
• https://spaces.ac.cn/archives/5253
• https://spaces.ac.cn/archives/5343
• https://spaces.ac.cn/archives/7381
• https://blog.evjang.com/2016/08/variational-bayes.html
• https://towardsdatascience.com/understanding-variational-autoencoders-vaes-f70510919f73
• https://papers.nips.cc/paper/2015/hash/8d55a249e6baa5c06772297520da2051-Abstract.html
• https://github.com/AntixK/PyTorch-VAE/blob/master/models/vanilla_vae.py
• https://keras.io/examples/generative/vae/
• https://github.com/jojonki/AutoEncoders/blob/master/vae.ipynb
• 生成模型之VAE