自动求导

PyTorch 中，所有神经网络的核心是autograd包。autograd 包为张量上的所有操作提供了自动求导机制。它是一个在运行时定义 ( define-by-run ）的框架，这意味着反向传播是根据代码如何运行来决定的，并且每次迭代可以是不同的。

Autograd 简介

torch.Tensor是这个包的核心类。如果设置它的属性.requires_grad为True，那么它将会追踪对于该张量的所有操作。当完成计算后可以通过调用.backward()，来自动计算所有的梯度。这个张量的所有梯度将会自动累加到.grad属性。

注意：在 y.backward() 时，如果 y 是标量，则不需要为 backward() 传入任何参数；否则，需要传入一个与 y 同形的 Tensor。

要阻止一个张量被跟踪历史，可以调用.detach()方法将其与计算历史分离，并阻止它未来的计算记录被跟踪。为了防止跟踪历史记录(和使用内存），可以将代码块包装在with torch.no_grad():中。在评估模型时特别有用，因为模型可能具有requires_grad = True 的可训练的参数，但是我们不需要在此过程中对他们进行梯度计算。

还有一个类对于autograd的实现非常重要：Function。Tensor和Function 互相连接生成了一个无环图 (acyclic graph)，它编码了完整的计算历史。每个张量都有一个.grad_fn属性，该属性引用了创建Tensor自身的Function(除非这个张量是用户手动创建的，即这个张量的grad_fn是None )。下面给出的例子中，张量由用户手动创建，因此 grad_fn 返回结果是 None。

1
2
3
4
from __future__ import print_function
import torch
x = torch.randn(3,3,requires_grad=True)
print(x.grad_fn)
1
None

如果需要计算导数，可以在Tensor 上调用.backward()。如果Tensor 是一个标量(即它包含一个元素的数据），则不需要为backward()指定任何参数，但是如果它有更多的元素，则需要指定一个gradient参数，该参数是形状匹配的张量。

创建一个张量并设置requires_grad=True用来追踪其计算历史

1
2
x = torch.ones(2, 2, requires_grad=True)
print(x)
1
2
tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]], requires_grad=True)

对这个张量做一次运算：

1
2
y = x**2
print(y)
1
2
tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]], grad_fn=<PowBackward0>)

y是计算的结果，所以它有grad_fn属性。

1
print(y.grad_fn)
1
<PowBackward0 object at 0x000001CB45988C70>

对 y 进行更多操作

1
2
3
4
z = y * y * 3
out = z.mean()

print(z, out)
1
2
tensor([[3., 3.],
        [3., 3.]], grad_fn=<MulBackward0>) tensor(3., grad_fn=<MeanBackward0>)

.requires_grad_(...)原地改变了现有张量的requires_grad标志。如果没有指定的话，默认输入的这个标志是 False。

1
2
3
4
5
6
7
a = torch.randn(2, 2) # 缺失情况下默认 requires_grad = False
a = ((a * 3) / (a - 1))
print(a.requires_grad)
a.requires_grad_(True)
print(a.requires_grad)
b = (a * a).sum()
print(b.grad_fn)
1
2
3
False
True
<SumBackward0 object at 0x000001CB4A19FB50>

2.2.1 梯度

现在开始进行反向传播，因为 out 是一个标量，因此out.backward()和 out.backward(torch.tensor(1.)) 等价。

1
out.backward()

输出导数 d(out)/dx

1
print(x.grad)
1
2
tensor([[3., 3.],
        [3., 3.]])

数学上，若有向量函数$\vec{y}=f(\vec{x})$，那么 $\vec{y}$ 关于 $\vec{x}$ 的梯度就是一个雅可比矩阵：
$
J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_{1} }{\partial x_{1} } & \cdots & \frac{\partial y_{1} }{\partial x_{n} } \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial y_{m} }{\partial x_{1} } & \cdots & \frac{\partial y_{m} }{\partial x_{n} }\end{array}\right)
$
而torch.autograd 这个包就是用来计算一些雅可比矩阵的乘积的。例如，如果 $v$ 是一个标量函数 $l = g(\vec{y})$ 的梯度：
$
v=\left(\begin{array}{lll}\frac{\partial l}{\partial y_{1} } & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m} }\end{array}\right)
$
由链式法则，我们可以得到：
$
v J=\left(\begin{array}{lll}\frac{\partial l}{\partial y_{1} } & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m} }\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_{1} }{\partial x_{1} } & \cdots & \frac{\partial y_{1} }{\partial x_{n} } \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial y_{m} }{\partial x_{1} } & \cdots & \frac{\partial y_{m} }{\partial x_{n} }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}\frac{\partial l}{\partial x_{1} } & \cdots & \frac{\partial l}{\partial x_{n} }\end{array}\right)
$

注意：grad 在反向传播过程中是累加的(accumulated)，这意味着每一次运行反向传播，梯度都会累加之前的梯度，所以一般在反向传播之前需把梯度清零。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
# 再来反向传播⼀一次，注意grad是累加的
out2 = x.sum()
out2.backward()
print(x.grad)

out3 = x.sum()
x.grad.data.zero_()
out3.backward()
print(x.grad)
1
2
3
4
tensor([[4., 4.],
        [4., 4.]])
tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]])

现在我们来看一个雅可比向量积的例子：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x = torch.randn(3, requires_grad=True)
print(x)

y = x * 2
i = 0
while y.data.norm() < 1000:
    y = y * 2
    i = i + 1
print(y)
print(i)
1
2
3
tensor([-0.9332,  1.9616,  0.1739], requires_grad=True)
tensor([-477.7843, 1004.3264,   89.0424], grad_fn=<MulBackward0>)
8

在这种情况下，y不再是标量。torch.autograd 不能直接计算完整的雅可比矩阵，但是如果我们只想要雅可比向量积，只需将这个向量作为参数传给backward：

1
2
3
4
v = torch.tensor([0.1, 1.0, 0.0001], dtype=torch.float)
y.backward(v)

print(x.grad)
1
tensor([5.1200e+01, 5.1200e+02, 5.1200e-02])

也可以通过将代码块包装在 with torch.no_grad(): 中，来阻止 autograd 跟踪设置了.requires_grad=True的张量的历史记录。

1
2
3
4
5
print(x.requires_grad)
print((x ** 2).requires_grad)

with torch.no_grad():
    print((x ** 2).requires_grad)
1
2
3
True
True
False

如果我们想要修改 tensor 的数值，但是又不希望被 autograd 记录(即不会影响反向传播)， 那么我们可以对 tensor.data 进行操作。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x = torch.ones(1,requires_grad=True)

print(x.data) # 还是一个tensor
print(x.data.requires_grad) # 但是已经是独立于计算图之外

y = 2 * x
x.data *= 100 # 只改变了值，不会记录在计算图，所以不会影响梯度传播

y.backward()
print(x) # 更改data的值也会影响tensor的值
print(x.grad)
1
2
3
4
tensor([1.])
False
tensor([100.], requires_grad=True)
tensor([2.])