第八讲：求解Ax=b：可解性和解的结构¶
举例，同上一讲：3 \times 4矩阵
$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 2\
2 & 4 & 6 & 8\
3 & 6 & 8 & 10\
\end{bmatrix}
，求Ax=b$的特解：
写出其增广矩阵（augmented matrix）\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]：
\left[
\begin{array}{c c c c|c}
1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \
2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \
3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \
\end{array}
\right]
\underrightarrow{消元}
\left[
\begin{array}{c c c c|c}
1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \
0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \
0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \
\end{array}
\right]
显然，有解的必要条件为b_3-b_2-b_1=0。
讨论b满足什么条件才能让方程Ax=b有解（solvability condition on b）：当且仅当b属于A的列空间时。另一种描述：如果A的各行线性组合得到0行，则b端分量做同样的线性组合，结果也为0时，方程才有解。
解法：令所有自由变量取0，则有$
\Big\lbrace
\begin{eqnarray}
x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \
& & 2x_3 & = & 3 \
\end{eqnarray}
$
，解得
$
\Big\lbrace
\begin{eqnarray}
x_1 & = & -2 \
x_3 & = & \frac{3}{2} \
\end{eqnarray}
$
，代入Ax=b求得特解
$
x_p=
\begin{bmatrix}
-2 \ 0 \ \frac{3}{2} \ 0
\end{bmatrix}
$。
令Ax=b成立的所有解：
\Big\lbrace
\begin{eqnarray}
A & x_p & = & b \
A & x_n & = & 0 \
\end{eqnarray}
\quad
\underrightarrow{两式相加}
\quad
A(x_p+x_n)=b
即Ax=b的解集为其特解加上零空间，对本例有：
$
x_{complete}=
\begin{bmatrix}
-2 \ 0 \ \frac{3}{2} \ 0
\end{bmatrix}
+
c_1\begin{bmatrix}-2\1\0\0\\end{bmatrix}
+
c_2\begin{bmatrix}2\0\-2\1\\end{bmatrix}
$
对于m \times n矩阵A，有矩阵A的秩r \leq min(m, n)
列满秩r=n情况：
$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 3 \
2 & 1 \
6 & 1 \
5 & 1 \
\end{bmatrix}
$
，rank(A)=2，要使Ax=b, b \neq 0有非零解，b必须取A中各列的线性组合，此时A的零空间中只有0向量。
行满秩r=m情况：
$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 6 & 5 \
3 & 1 & 1 & 1 \
\end{bmatrix}
$
，rank(A)=2，\forall b \in R^m都有x \neq 0的解，因为此时A的列空间为R^m，b \in R^m恒成立，组成A的零空间的自由变量有n-r个。
行列满秩情况：r=m=n，如
$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \
3 & 4 \
\end{bmatrix}
$
，则A最终可以化简为R=I，其零空间只包含0向量。
总结：
评论