行列式（determinant）的性质：

1. \det{I}=1，单位矩阵行列式值为一。

2. 交换行行列式变号。

在给出第三个性质之前，先由前两个性质可知，对置换矩阵有\det P=\begin{cases}1\quad &even\-1\quad &odd\end{cases}。

举例：\begin{vmatrix}1&0\0&1\end{vmatrix}=1,\quad\begin{vmatrix}0&1\1&0\end{vmatrix}=-1，于是我们猜想，对于二阶方阵，行列式的计算公式为\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}=ad-bc。

3. a. \begin{vmatrix}ta&tb\tc&td\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}。

b. \begin{vmatrix}a+a'&b+b'\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\c&d\end{vmatrix}。

注意：~~这里并不是指\det (A+B)=\det A+\det B，方阵相加会使每一行相加，这里仅是针对某一行的线性变换。~~

4. 如果两行相等，则行列式为零。使用性质2交换两行易证。

5. 从第k行中减去第i行的l倍，行列式不变。这条性质是针对消元的，我们可以先消元，将方阵变为上三角形式后再计算行列式。

举例：\begin{vmatrix}a&b\c-la&d-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.b}{=}\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\-la&-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.a}{=}\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}-l\begin{vmatrix}a&b\a&b\end{vmatrix}\stackrel{4}{=}\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}

6. 如果方阵的某一行为零，则其行列式值为零。使用性质3.a对为零行乘以不为零系数l，使l\det A=\det A即可证明；或使用性质5将某行加到为零行，使存在两行相等后使用性质4即可证明。

7. 有上三角行列式U=\begin{vmatrix}d_{1}&&\cdots&\0&d_{2}&\cdots&\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}，则\det U=d_1d_2\cdots d_n。使用性质5，从最后一行开始，将对角元素上方的元素依次变为零，可以得到型为D=\begin{vmatrix}d_{1}&0&\cdots&0\0&d_{2}&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}的对角行列式，再使用性质3将对角元素提出得到d_nd_{n-1}\cdots d_1\begin{vmatrix}1&0&\cdots&0\0&1&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}，得证。

8. 当矩阵A为奇异矩阵时，\det A=0；当且仅当A可逆时，有\det A\neq0。如果矩阵可逆，则化简为上三角形式后各行都含有主元，行列式即为主元乘积；如果矩阵奇异，则化简为上三角形式时会出现全零行，行列式为零。

再回顾二阶情况：\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}\xrightarrow{消元}\begin{vmatrix}a&b\0&d-\frac{c}{a}b\end{vmatrix}=ad-bc，前面的猜想得到证实。

9. \det AB=(\det A)(\det B)。使用这一性质，\det I=\det{A^{-1}A}=\det A^{-1}\det A，所以\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}。

同时还可以得到：\det A^2=(\det A)^2，以及\det 2A=2^n\det A，这个式子就像是求体积，对三维物体有每边翻倍则体积变为原来的八倍。

10. \det A^T=\det A，前面一直在关注行的属性给行列式带来的变化，有了这条性质，行的属性同样适用于列，比如对性质2就有“交换列行列式变号”。

    证明：\left|A^T\right|=\left|A\right|\rightarrow\left|U^TL^T\right|=\left|LU\right|\rightarrow\left|U^T\right|\left|L^T\right|=\left|L\right|\left|U\right|，值得注意的是，L, U的行列式并不因为转置而改变，得证。

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