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说起生成模型，大家最容易想到的就是GAN，GAN是通过对抗训练实现的一种隐式生成模型。虽然GAN很强大，但其实还有很多与GAN不同的生成模型，最常见的就是基于最大化似然的模型，变分自动编码器（Variational Autoencoder，VAE）就属于这种类型。

自动编码器（Autoencoder，AE）¶

再讲VAE之前，有必要先简单介绍一下自动编码器AE，自动编码器是一种无监督学习方法，它的原理很简单：先将高维的原始数据映射到一个低维特征空间，然后从低维特征学习重建原始的数据。一个AE模型包含两部分网络：

• Encoder：将原始的高维数据映射到低维特征空间，这个特征维度一般比原始数据维度要小，这样就起到压缩或者降维的目的，这个低维特征也往往成为中间隐含特征（latent representation）；

• Decoder：基于压缩后的低维特征来重建原始数据；

如上图所示，这里g_{\phi} encoder网络的映射函数（网络参数为\phi），而f_{\theta} decoder网络的映射函数（网络参数为\theta）。那么对于输入\mathbf{x}，可以通过encoder得到隐含特征\mathbf{z}=g_{\phi}(\mathbf{x})，然后decoder可以从隐含特征对原始数据进行重建：\mathbf{x}'=f_{\theta}(\mathbf{z})=f_{\theta}(g_{\phi}(\mathbf{x}))。我们希望重建的数据和原来的数据近似一致的，那么AE的训练损失函数可以采用简单的MSE：

由于训练AE并不需要对数据进行标注，所以AE是一种无监督学习方法。由于压缩后的特征能对原始数据进行重建，所以我们可以用AE的encoder对高维数据进行压缩，这和PCA非常类似，当然得到的隐含特征也可以用来做一些其它工作，比如相似性搜索等。 ​

AE有很多变种，比如经典的去噪自编码器（Denoising Autoencoder，DAE），与原始AE不同的是，在训练过程先对输入\mathbf{x} 行一定的扰动，比如增加噪音或者随机mask掉一部分特征。相比AE，DAE的重建难度增加，这也使得encoder学习到的隐含特征更具有代表性。

作为一种无监督学习方法，AE除了可以对数据降维，还可以用来对深度网络进行预训练。在深度学习早期，由于存在数据和算力限制，训练深度模型是比较困难的，所以常常采用无监督学习方法先对网络进行预训练，然后在具体的任务上进行有监督finetune，经典的工作如基于DAE的堆叠去噪自编码器（Stacked Denoising Autoencoder，SDA）和基于RBM的深度信念网络（Deep Belief Network，DBN）。

然而，随着大数据的出现（比如包含1.3M图像的ImageNet数据集）以及网络架构的优化（如ResNet的出现），这种训练方式基本被弃用了，目前的主流方式是先在大规模有标注数据集上预训练，然后用预训练初始化的模型来训练具体的任务。由于标注数据存在成本，但收集大规模无标注数据相对容易，所以最近又开始了无监督训练研究的热潮，一些基于对比学习的自监督方法如Moco和SimCLR等已经可以达到和ImageNet有标注监督训练类似的效果。而今年来，随着vision transformer的大爆发，又出现了基于MIM（mask image modeling)的自监督方法，如MAE和SimMIM，它们都是采用和AE类似的设计架构，这让基于AE的无监督训练方法再次卷土重来。

变分自动编码器（Variational Autoencoder，VAE）¶

VAE虽然名字里也带有自动编码器，但这主要是因为VAE和AE有着类似的结构，即encoder和decoder这样的架构设计。实际上，VAE和AE在建模方面存在很大的区别，从本质上讲，VAE是一种基于变分推断（Variational Inference, Variational Bayesian methods）的概率模型（Probabilistic Model），它属于生成模型（当然也是无监督模型）。在变分推断中，除了已知的数据（观测数据，训练数据）外还存在一个隐含变量，这里已知的数据集记为\mathbf{X}={x^{(i)}}_{i=1}^N N 连续变量或者离散变量\mathbf{x} 成，而未观测的随机变量记为\mathbf{z}，那么数据的产生包含两个过程：

1. 从一个先验分布p_{\theta}(\mathbf{z}) 采样一个\mathbf{z}^{(i)}；
2. 根据条件分布p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})，用\mathbf{z}^{(i)} 成\mathbf{x}^{(i)}。

这里的\theta 的是分布的参数，比如对于高斯分布就是均值和标准差。我们希望找到一个参数\theta^* 最大化生成真实数据的概率：

这里p_\theta(\mathbf{x}^{(i)}) 以通过对\mathbf{z} 分得到：

而实际上要根据上述积分是不现实的，一方面先验分布p_{\theta}(\mathbf{z}) 未知的，而且如果分布比较复杂，对\mathbf{z} 举计算也是极其耗时的。为了解决这个难题，变分推断引入后验分布p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) 联合建模，根据https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem，后验等于：

这样的联合建模如上图所示，实线代表的是我们想要得到的生成模型p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})p_\theta(\mathbf{z})，其中先验分布p_{\theta}(\mathbf{z}) 往是事先定义好的（比如标准正态分布），而p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) 以用一个网络来学习，类比AE的话，如果把\mathbf{z} 成隐含特征，那么这个网络就可以看成一个probabilistic decoder。虚线代表的是对后验分布p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) 变分估计，记为q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})，它也可以用一个网络来学习，这个网络可以看成一个probabilistic encoder。可以看到，VAE和AE在架构设计上是类似的，只不过这里probabilistic encoder和probabilistic decoder学习的是两个分布。对于VAE来说，最终目标是得到生成模型即decoder，而encoder只是为了辅助建模，但对于AE来说，常常是为了得到encoder来进行特征提取或者压缩。 ​

建模已经完成，下面我们来推导一下VAE的优化目标。对于估计的后验q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})，我们希望它接近真实的后验分布p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})，评估两个分布差异最常用的方式就是计算KL散度（Kullback-Leibler divergence）。对q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) 算KL散度，如下所示： ​

最终可以得到：

这里我们适当调整一下上述等式中各个项的位置，可以得到：

这里\log p_\theta(\mathbf{x}) 生成真实数据的对数似然，对于生成模型，我们希望最大化这个对数似然，而D_\text{KL}( q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) | p_\theta(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) ) 估计的后验分布和真实分布的KL散度，我们希望最小化该KL散度（KL散度为0时两个分布没有差异），所以上述等式的左边就是联合建模的最大化优化目标，这等价于最大化等式的右边。这个等式的右边又称为Evidence lower bound，简称为ELBO，这主要是因为p_\theta(\mathbf{x}) 般称为evidence，而由于KL散度的非负性，所以有下述不等式：

所以ELBO是evidence的下限，https://en.wikipedia.org/wiki/Evidence_lower_bound是变分推断中经常用到的优化目标。对于VAE，ELBO取负就是其要最小化的训练目标：

对于优化目标的第二项，即计算q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) p_\theta(\mathbf{z}) KL散度，首先我们必须要对两个分布做一定的假设：

即q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) 各分量独立的多元高斯分布（协方差矩阵为对角矩阵），那么encoder网络预测的就是高斯分布的均值\boldsymbol{\mu} 方差\boldsymbol{\sigma}^2（实际处理时预测\log\boldsymbol{\sigma}^2，因为该值是无约束的）。而先验p_\theta(\mathbf{z}) 标准正态分布，这样就变成了计算两个多元高斯分布的KL散度。对于多元高斯分布，其概率密度函数为：

对于两个多元高斯分布，其KL散度计算推导如下：

上述公式的推导涉及到一些线性代数的知识，如矩阵的迹运算（tr)，如果不明白可以参考https://kexue.fm/archives/8512。根据上述公式，就可以计算出q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) p_\theta(\mathbf{z}) KL散度：

这里n 的多元高斯分布分量的总数，或者说是隐变量\mathbf{z} 元素数量。实际上由于q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) 各分量独立的多元高斯分布，这个计算可以简化为先计算单独计算各分量的的KL散度（即一元正态分布），然后对各分量的KL散度求和，因为一元正态分布的KL散度相对容易推导：

综上，对于训练数据的一个样本\mathbf{x}^{(i)}，其KL散度项的优化目标为：

现在我们来分析优化目标的第一项-\mathbb{E}{\mathbf{z}\sim q\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x})}\log p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})，它一般被称为重建误差（reconstruction error），因为p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) 是给定\mathbf{z} 生成真实数据\mathbf{x} 似然（Likelihood）。对于一个给定的训练样本\mathbf{x}^{(i)}，我们可以采蒙特卡洛方法（https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method）来估计这个数学期望，即从q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)}) 次采样来估计：

这里的L 采样的总次数，实际上在具体实现上往往L=1，即只随机采样一次（VAE论文中说当训练的mini-batch size足够大时，采样一次是有效的）。另外一个困难的地方，从q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}^{(i)}) 样这个操作是无法计算梯度的，VAE采用一种重参数化（reparameterization）技巧来解决这个问题，具体地，通过引入一个额外的独立随机变量\boldsymbol{\epsilon} \thicksim p(\boldsymbol{\epsilon}) 将随机变量\mathbf{z} 变成确定变量：\mathbf{z}=g_{\phi}(\mathbf{x},\boldsymbol{\epsilon})。由于q_\phi(\mathbf{z}\vert\mathbf{x}) 经假定为多元高斯分布，使用重采样技巧后则为：

直观上讲，就是首先从标准正态分布随机采样一个样本，然后乘以encoder预测的标准差，再加上encoder预测的均值，这样就能计算该损失对encoder网络参数的梯度了。

根据建模的数据类型，p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) 布可以是一个高斯分布也可以是一个伯努利分布，这里以更通用的高斯分布为例。假定p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) 布也属于一个各分量独立的多元高斯分布：p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) = \mathcal{N}(\mathbf{x}; \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\sigma}^{2}\boldsymbol{I})。由于各个分量独立，所以我们可以单独计算每个分量：

对于这个高斯分布的标准差，我们往往假定它是一个常量，而均值是由decoder预测得出：\boldsymbol{\mu}=f_{\theta}(\mathbf {z})。那么则有：

这里C_1 C_2 是常量，而D 变量\mathbf{x} 维度大小。如果忽略常量C_1 话，那么重建误差其实就是L2损失。上面我们是假定p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) 布是一个高斯分布，如果p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) 一个伯努利分布即0-1分布的话，此时decoder直接预测概率值（sigmoid激活函数），重建误差就是交叉熵，：

\log p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z})=\sum_{d}^{D}\Big(\mathbf{x}d\log(f{\theta}(\mathbf{z})d)+(1-\mathbf{x}_d)\log(1-f{\theta}(\mathbf{z})_d)\Big) \

根据上述分析，对给定的一个训练样本\mathbf{x}^{(i)}，其训练损失（假定是高斯分布）为：

如果把KL散度项看到一个正则化的话，那么VAE的损失函数就是重建误差+正则化，这样VAE就可以看成是一个加了约束的AE。VAE的整个训练流程如下所示：输入\mathbf{x}，encoder首先计算出后验分布的均值和标准差，然后通过重采样方法采样得到隐变量\mathbf{z}，然后送入decoder得到重建的数据\mathbf{x}'。

训练完成后，我们就得到生成模型p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})p_\theta(\mathbf{z})，其中p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z}) 是decoder网络，而先验p_\theta(\mathbf{z}) 标准正态分布，我们从p_\theta(\mathbf{z}) 机采样一个\mathbf{z}，送入decoder网络，就能生成与训练数据\mathbf{X} 似的样本。

CVAE¶

条件变分自编码器（Conditional Variational Autoencoder，CVAE）是VAE的一个变种，相比VAE，CVAE要估计的是一个条件分布p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{y})，同样地，我们引入隐变量\mathbf{z} 进行变分推断。此时，给定一个输入\mathbf{y}，从先验分布p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y}) 采样一个\mathbf{z}，然后根据分布p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z},\mathbf{y}) 成一个样本\mathbf{x}，因而这里要求解的生成模型是p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z},\mathbf{y})。这个生成模型可以用两个网络来学习，其中一个网络来学习先验分布p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})，另外一个网络来学习条件分布p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z},\mathbf{y})。在VAE，我们假定先验p_{\theta}(\mathbf{z}) 标准正态分布，因为不需要单独的网路来学习；而在CVAE中，先验分布p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y}) 一种条件先验，如果假定\mathbf{z} 独立与\mathbf{y} 话，那么此时先验分布p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})=p_{\theta}(\mathbf{z})，更进一步地也可以简化认为先验为标准正态分布。 同样地，我们另外采用一个网络q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{x},\mathbf{y}) 估计后验分布p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{x},\mathbf{y})。同样地，我们可以推导出ELBO：

那么对于CVAE，其优化目标为：

对于上述优化目标的处理，同样地可以采用和VAE一样的分析过程，这里不再详细展开，具体见https://papers.nips.cc/paper/2015/hash/8d55a249e6baa5c06772297520da2051-Abstract.html。下图为CVAE的一种实现方式（这里先验简化为标准正态分布）：

​

对于VAE和CVAE，它们最重要的区别是数据是如何生成的，对于VAE，数据的产生认为是p_\theta(\mathbf{x}\vert\mathbf{z})p_\theta(\mathbf{z})，而对于CVAE，其数据的产生是p_{\theta}(\mathbf{z}|\mathbf{y})p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z},\mathbf{y})，不同的数据产生方式导致了不同的建模方式和ELBO，但两者用的变分推断理论是一致的。 ​

VAE的代码实现¶

这里以MNIST数据集为例用PyTorch实现一个简单的VAE生成模型，由于MNIST数据集为灰度图，而且大部分像素点为0（黑色背景）或者白色（255，前景），所以这里可以将像素值除以255归一化到[0, 1]，并认为像素值属于伯努利分布，重建误差采用交叉熵。 首先是构建encoder，这里用简单的两层卷积和一个全连接层来实现，encoder给出隐变量的mu和log_var：

class Encoder(nn.Module):
    """The encoder for VAE"""

    def __init__(self, image_size, input_dim, conv_dims, fc_dim, latent_dim):
        super().__init__()

        convs = []
        prev_dim = input_dim
        for conv_dim in conv_dims:
            convs.append(nn.Sequential(
                nn.Conv2d(prev_dim, conv_dim, kernel_size=3, stride=2, padding=1),
                nn.ReLU()
            ))
            prev_dim = conv_dim
        self.convs = nn.Sequential(*convs)

        prev_dim = (image_size // (2 ** len(conv_dims))) ** 2 * conv_dims[-1]
        self.fc = nn.Sequential(
            nn.Linear(prev_dim, fc_dim),
            nn.ReLU(),
        )
        self.fc_mu = nn.Linear(fc_dim, latent_dim)
        self.fc_log_var = nn.Linear(fc_dim, latent_dim)

    def forward(self, x):
        x = self.convs(x)
        x = torch.flatten(x, start_dim=1)
        x = self.fc(x)
        mu = self.fc_mu(x)
        log_var = self.fc_log_var(x)
        return mu, log_var

对于decoder，基本采用对称的结构，这里用反卷积来实现上采样，decoder根据隐变量重构样本或者生成样本：

class Decoder(nn.Module):
    """The decoder for VAE"""

    def __init__(self, latent_dim, image_size, conv_dims, output_dim):
        super().__init__()

        fc_dim = (image_size // (2 ** len(conv_dims))) ** 2 * conv_dims[-1]
        self.fc = nn.Sequential(
            nn.Linear(latent_dim, fc_dim),
            nn.ReLU()
        )
        self.conv_size = image_size // (2 ** len(conv_dims))

        de_convs = []
        prev_dim = conv_dims[-1]
        for conv_dim in conv_dims[::-1]:
            de_convs.append(nn.Sequential(
                nn.ConvTranspose2d(prev_dim, conv_dim, kernel_size=3, stride=2, padding=1, output_padding=1),
                nn.ReLU()
            ))
            prev_dim = conv_dim
        self.de_convs = nn.Sequential(*de_convs)
        self.pred_layer = nn.Sequential(
            nn.Conv2d(prev_dim, output_dim, kernel_size=3, stride=1, padding=1),
            nn.Sigmoid()
        )

    def forward(self, x):
        x = self.fc(x)
        x = x.reshape(x.size(0), -1, self.conv_size, self.conv_size)
        x = self.de_convs(x)
        x = self.pred_layer(x)
        return x

有了encoder和decoder，然后就可以构建VAE模型了，这里的实现只对隐变量通过重采样方式采样一次，训练损失为KL散度和重建误差（交叉熵）之和：

class VAE(nn.Module):
    """VAE"""

    def __init__(self, image_size, input_dim, conv_dims, fc_dim, latent_dim):
        super().__init__()

        self.encoder = Encoder(image_size, input_dim, conv_dims, fc_dim, latent_dim)
        self.decoder = Decoder(latent_dim, image_size, conv_dims, input_dim)

    def sample_z(self, mu, log_var):
        """sample z by reparameterization trick"""
        std = torch.exp(0.5 * log_var)
        eps = torch.randn_like(std)
        return mu + eps * std

    def forward(self, x):
        mu, log_var = self.encoder(x)
        z = self.sample_z(mu, log_var)
        recon = self.decoder(z)
        return recon, mu, log_var

    def compute_loss(self, x, recon, mu, log_var):
        """compute loss of VAE"""

        # KL loss
        kl_loss = (0.5*(log_var.exp() + mu ** 2 - 1 - log_var)).sum(1).mean()

        # recon loss
        recon_loss = F.binary_cross_entropy(recon, x, reduction="none").sum([1, 2, 3]).mean()

        return kl_loss + recon_loss

模型训练完成，可以从标准正态分布随机采样，然后生成新的样本，下图为一些模型生成的样本：

VAE虽然主要用于生成，但是作为一种无监督学习方法，也能用于提取特征，下图为从MNIST验证集中提取的中间隐含层特征（encoder属于的mu）的TSNE可视化，可以看到不同类别的隐含特征具有一定的区分度：

这里额外要提的一点，VAE模型比较容易出现posterior collapse问题，简单来说，就是由于decoder足够强大，可以不依赖隐变量而直接学习到了数据分布，此时：q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{x})=p_{\theta}(\mathbf{z}),p_{\theta}(\mathbf{x}|\mathbf{z})=p_{\theta}(\mathbf{x})。这对生成模型没有太大的问题，但是如果你用VAE提取特征的话，就不行了，因为隐变量和原始数据之间没有联系了。这个问题具体可以看看这篇文章https://openreview.net/forum?id=r1xaVLUYuE。对于posterior collapse问题，也有很多改进方案来解决或者避免，比如VQ-VAE，后面会有新的文章来讲解。

代码的实现放在github上，具体见https://github.com/xiaohu2015/nngen

总结¶

这篇文章简单讲述了自动编码器的原理，并重点介绍了VAE模型的原理以及它和AE之间的联系，最后给出了一个具体的VAE代码实例。VAE模型涉及比较复杂的数学建模，理解它需要花费一定的精力，这里特别感谢一些优秀的文章（见参考）。 ​

参考¶

• https://lilianweng.github.io/lil-log/2018/08/12/from-autoencoder-to-beta-vae.html
• https://arxiv.org/abs/1312.6114
• https://arxiv.org/abs/1606.05908
• https://spaces.ac.cn/archives/5253
• https://spaces.ac.cn/archives/5343
• https://spaces.ac.cn/archives/7381
• https://blog.evjang.com/2016/08/variational-bayes.html
• https://towardsdatascience.com/understanding-variational-autoencoders-vaes-f70510919f73
• https://papers.nips.cc/paper/2015/hash/8d55a249e6baa5c06772297520da2051-Abstract.html
• https://github.com/AntixK/PyTorch-VAE/blob/master/models/vanilla_vae.py
• https://keras.io/examples/generative/vae/
• https://github.com/jojonki/AutoEncoders/blob/master/vae.ipynb
• 生成模型之VAE