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v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_n是m\times n矩阵A的列向量：

如果A零空间中有且仅有0向量，则各向量线性无关，rank(A)=n。

如果存在非零向量c使得Ac=0，则存在线性相关向量，rank(A)\lt n。

向量空间S中的一组基（basis），具有两个性质：

1. 他们线性无关；
2. 他们可以生成S。

对于向量空间\mathbb{R}^n，如果n个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这n个向量为该空间的一组基，而数字n就是该空间的维数（dimension）。

举例：
$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \
1 & 1 & 2 & 1 \
1 & 2 & 3 & 1 \
\end{bmatrix}
$
，A的列向量线性相关，其零空间中有非零向量，所以rank(A)=2=主元存在的列数=列空间维数。

可以很容易的求得Ax=0的两个解，如
$
x_1=
\begin{bmatrix}
-1 \
-1 \
1 \
0 \
\end{bmatrix},
x_2=
\begin{bmatrix}
-1 \
0 \
0 \
1 \
\end{bmatrix}
，根据前几讲，我们知道特解的个数就是自由变量的个数，所以n-rank(A)=2=自由变量存在的列数=零空间维数$

我们得到：列空间维数dim C(A)=rank(A)，零空间维数$