对于m \times n矩阵A，rank(A)=r有：

• 行空间C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r，基见例1。

• 零空间N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r，自由元所在的列即可组成零空间的一组基。

• 列空间C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r，主元所在的列即可组成列空间的一组基。

• 左零空间N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r，基见例2。

例1，对于行空间
$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \
1 & 1 & 2 & 1 \
1 & 2 & 3 & 1 \
\end{bmatrix}
\underrightarrow{消元、化简}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}
=R
$

由于我们做了行变换，所以A的列空间受到影响，C(R) \neq C(A)，而行变换并不影响行空间，所以可以在R中看出前两行就是行空间的一组基。

所以，可以得出无论对于矩阵A还是R，其行空间的一组基，可以由R矩阵的前r行向量组成（这里的R就是第七讲提到的简化行阶梯形式）。

例2，对于左零空间，有A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T，因此得名。

采用Gauss-Jordan消元，将增广矩阵\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]中A的部分划为简化行阶梯形式\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]，此时矩阵E会将所有的行变换记录下来。

则EA=R，而在前几讲中，有当A'是m阶可逆方阵时，R'即是I，所以E就是A^{-1}。

本例中

则

很明显，式中E的最后一行对A的行做线性组合后，得到R的最后一行，即0向量，也就是y^TA=0^T。

最后，引入矩阵空间的概念，矩阵可以同向量一样，做求和、数乘。

举例，设所有3 \times 3矩阵组成的矩阵空间为M。则上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵（前两者的交集）。

观察一下对角矩阵，如果取
$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
\end{bmatrix} \quad
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 0 \
\end{bmatrix} \quad
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 7 \
\end{bmatrix}
$
，可以发现，任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成，因此，他们生成了三阶对角矩阵空间，即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。

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