从 $\mathbb{R}^2$ 空间讲起，有向量 $a, b$ ，做 $b$ 在 $a$ 上的投影 $p$ ，如图：

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd

plt.style.use("seaborn-dark-palette")

fig = plt.figure()
plt.axis('equal')
plt.axis([-7, 7, -6, 6])
plt.arrow(-4, -1, 8, 2, head_width=0.3, head_length=0.5, color='r', length_includes_head=True)
plt.arrow(0, 0, 2, 4, head_width=0.3, head_length=0.5, color='b', length_includes_head=True)
plt.arrow(0, 0, 48/17, 12/17, head_width=0.3, head_length=0.5, color='gray', length_includes_head=True)
plt.arrow(48/17, 12/17, 2-48/17, 4-12/17, head_width=0.3, head_length=0.5, color='g', length_includes_head=True)
# plt.plot([48/17], [12/17], 'o')
# y=1/4x
# y=-4x+12
# x=48/17
# y=12/17
plt.annotate('b', xy=(1, 2), xytext=(-30, 15), textcoords='offset points', size=20, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('a', xy=(-1, -0.25), xytext=(15, -30), textcoords='offset points', size=20, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('e=b-p', xy=(2.5, 2), xytext=(30, 0), textcoords='offset points', size=20, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('p=xa', xy=(2, 0.5), xytext=(-20, -40), textcoords='offset points', size=20, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.grid()

png

plt.close(fig)

从图中我们知道，向量 $e$ 就像是向量 $b, p$ 之间的误差， $e=b-p, e \bot p$ 。 $p$ 在 $a$ 上，有 $\underline{p=ax}$ 。

所以有 $a^Te=a^T(b-p)=a^T(b-ax)=0$ 。关于正交的最重要的方程：

a^T(b-xa)=0 \ \underline{xa^Ta=a^Tb} \ \underline{x=\frac{a^Tb}{a^Ta}} \ p=a\frac{a^Tb}{a^Ta}

从上面的式子可以看出，如果将 $b$ 变为 $2b$ 则 $p$ 也会翻倍，如果将 $a$ 变为 $2a$ 则 $p$ 不变。

设投影矩阵为 $P$ ，则可以说投影矩阵作用与某个向量后，得到其投影向量， $projection_p=Pb$ 。

易看出 $\underline{P=\frac{aa^T}{a^Ta}}$ ，若 $a$ 是 $n$ 维列向量，则 $P$ 是一个 $n \times n$ 矩阵。

观察投影矩阵 $P$ 的列空间， $C(P)$ 是一条通过 $a$ 的直线，而 $rank(P)=1$ （一列乘以一行： $aa^T$ ，而这一列向量 $a$ 是该矩阵的基）。

投影矩阵的性质：

$\underline{P=P^T}$ ，投影矩阵是一个对称矩阵。
如果对一个向量做两次投影，即 $PPb$ ，则其结果仍然与 $Pb$ 相同，也就是 $\underline{P^2=P}$ 。

为什么我们需要投影？因为就像上一讲中提到的，有些时候 $Ax=b$ 无解，我们只能求出最接近的那个解。

$Ax$ 总是在 $A$ 的列空间中，而 $b$ 却不一定，这是问题所在，所以我们可以将 $b$ 变为 $A$ 的列空间中最接近的那个向量，即将无解的 $Ax=b$ 变为求有解的 $A\hat{x}=p$ （ $p$ 是 $b$ 在 $A$ 的列空间中的投影， $\hat{x}$ 不再是那个不存在的 $x$ ，而是最接近的解）。

现在来看 $\mathbb{R}^3$ 中的情形，将向量 $b$ 投影在平面 $A$ 上。同样的， $p$ 是向量 $b$ 在平面 $A$ 上的投影， $e$ 是垂直于平面 $A$ 的向量，即 $b$ 在平面 $A$ 法方向的分量。
设平面 $A$ 的一组基为 $a_1, a_2$ ，则投影向量 $p=\hat{x_1}a_1+\hat{x_2}a_2$ ，我们更倾向于写作 $p=A\hat{x}$ ，这里如果我们求出 $\hat{x}$ ，则该解就是无解方程组最近似的解。

现在问题的关键在于找 $e=b-A\hat{x}$ ，使它垂直于平面，因此我们得到两个方程
$
\begin{cases}a_1^T(b-A\hat{x})=0\
a_2^T(b-A\hat{x})=0\end{cases}
$，将方程组写成矩阵形式
$
\begin{bmatrix}a_1^T\a_2^T\end{bmatrix}
(b-A\hat{x})=
\begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix}
$，即$ A^T(b-A\hat{x})=0$。

比较该方程与 $\mathbb{R}^2$ 中的投影方程，发现只是向量 $a$ 变为矩阵 $A$ 而已，本质上就是 $A^Te=0$ 。所以， $e$ 在 $A^T$ 的零空间中（ $e\in N(A^T)$ ），从前面几讲我们知道，左零空间 $\bot$ 列空间，则有 $e\bot C(A)$ ，与我们设想的一致。

再化简方程得 $A^TAx=A^Tb$ ，比较在 $\mathbb{R}^2$ 中的情形， $a^Ta$ 是一个数字而 $A^TA$ 是一个 $n$ 阶方阵，而解出的 $x$ 可以看做两个数字的比值。现在在 $\mathbb{R}^3$ 中，我们需要再次考虑：什么是 $\hat{x}$ ？投影是什么？投影矩阵又是什么？

第一个问题： $\hat x=(A^TA)^{-1}A^Tb$ ；
第二个问题： $p=A\hat x=\underline{A(A^TA)^{-1}A^T}b$ ，回忆在 $\mathbb{R}^2$ 中的情形，下划线部分就是原来的 $\frac{aa^T}{a^Ta}$ ；
第三个问题：易看出投影矩阵就是下划线部分 $P=A(A^TA)^{-1}A^T$ 。

这里还需要注意一个问题， $P=A(A^TA)^{-1}A^T$ 是不能继续化简为 $P=AA^{-1}(A^T)^{-1}A^T=I$ 的，因为这里的 $A$ 并不是一个可逆方阵。
也可以换一种思路，如果 $A$ 是一个 $n$ 阶可逆方阵，则 $A$ 的列空间是整个 $\mathbb{R}^n$ 空间，于是 $b$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的投影矩阵确实变为了 $I$ ，因为 $b$ 已经在空间中了，其投影不再改变。

再来看投影矩阵 $P$ 的性质：

$P=P^T$ ：有
$
\left[A(A^TA)^{-1}A^T\right]^T=A\left[(A^TA)^{-1}\right]^TA^T
$，而$ (A^TA) $是对称的，所以其逆也是对称的，所以有$ A((A^TA)^{-1})^TA^T=A(A^TA)^{-1}A^T$，得证。
$P^2=P$ ：有
$
\left[A(A^TA)^{-1}A^T\right]\left[A(A^TA)^{-1}A^T\right]=A(A^TA)^{-1}\left[(A^TA)(A^TA)^{-1}\right]A^T=A(A^TA)^{-1}A^T
$，得证。

最小二乘法¶

接下看看投影的经典应用案例：最小二乘法拟合直线（least squares fitting by a line）。

我们需要找到距离图中三个点 $(1, 1), (2, 2), (3, 2)$ 偏差最小的直线： $b=C+Dt$ 。

plt.style.use("seaborn-dark-palette")

fig = plt.figure()
plt.axis('equal')
plt.axis([-1, 4, -1, 3])
plt.axhline(y=0, c='black', lw='2')
plt.axvline(x=0, c='black', lw='2')

plt.plot(1, 1, 'o', c='r')
plt.plot(2, 2, 'o', c='r')
plt.plot(3, 2, 'o', c='r')

plt.annotate('(1, 1)', xy=(1, 1), xytext=(-40, 20), textcoords='offset points', size=14, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('(2, 2)', xy=(2, 2), xytext=(-60, -5), textcoords='offset points', size=14, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
plt.annotate('(3, 2)', xy=(3, 2), xytext=(-18, 20), textcoords='offset points', size=14, arrowprops=dict(arrowstyle="->"))

plt.grid()

png

plt.close(fig)

根据条件可以得到方程组
$
\begin{cases}
C+D&=1 \
C+2D&=2 \
C+3D&=2 \
\end{cases}
$，写作矩阵形式
$\begin{bmatrix}1&1 \1&2 \1&3\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C\D\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\2\2\\end{bmatrix}$ ，也就是我们的 $Ax=b$ ，很明显方程组无解。但是 $A^TA\hat x=A^Tb$ 有解，于是我们将原是两边同时乘以 $A^T$ 后得到的新方程组是有解的， $A^TA\hat x=A^Tb$ 也是最小二乘法的核心方程。

下一讲将进行最小二乘法的验算。

最小二乘法¶

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