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求逆矩阵¶

我们从逆矩阵开始，对于二阶矩阵有 $\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\-c&a\end{bmatrix}$ 。观察易得，系数项就是行列式的倒数，而矩阵则是由一系列代数余子式组成的。先给出公式：

A^{-1}=\frac{1}{\det A}C^T \tag{1}

观察这个公式是如何运作的，化简公式得 $AC^T=(\det A)I$ ，写成矩阵形式有 $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{n1}\C_{12}&\cdots&C_{n2}\\vdots&\ddots&\vdots\C_{1n}&\cdots&C_{nn}\end{bmatrix}=Res$

对于这两个矩阵的乘积，观察其结果的元素 $Res_{11}=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}$ ，这正是上一讲提到的将行列式按第一行展开的结果。同理，对 $Res_{22}, \cdots, Res_{nn}$ 都有 $Res_{ii}=\det A$ ，即对角线元素均为 $\det A$ 。

再来看非对角线元素：回顾二阶的情况，如果用第一行乘以第二行的代数余子式 $a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}$ ，得到 $a(-b)+ab=0$ 。换一种角度看问题， $a(-b)+ab=0$ 也是一个矩阵的行列式值，即 $A_{s}=\begin{bmatrix}a&b\a&b\end{bmatrix}$ 。将 $\det A_{s}$ 按第二行展开，也会得到 $\det A_{s}=a(-b)+ab$ ，因为行列式有两行相等所以行列式值为零。

推广到 $n$ 阶，我们来看元素 $Res_{1n}=a_{11}C_{n1}+a_{12}C_{n2}+\cdots+a_{1n}C_{nn}$ ，该元素是第一行与最后一行的代数余子式相乘之积。这个式子也可以写成一个特殊矩阵的行列式，即矩阵 $A_{s}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a_{n-a1}&a_{n-12}&\cdots&a_{n-1n}\a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\end{bmatrix}$ 。计算此矩阵的行列式，将 $\det A_{s}$ 按最后一行展开，也得到 $\det A_{s}=a_{11}C_{n1}+a_{12}C_{n2}+\cdots+a_{1n}C_{nn}$ 。同理，行列式 $A_{s}$ 有两行相等，其值为零。

结合对角线元素与非对角线元素的结果，我们得到 $Res=\begin{bmatrix}\det A&0&\cdots&0\0&\det A&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&\det A\end{bmatrix}$ ，也就是 $(1)$ 等式右边的 $(\det A)I$ ，得证。

求解 $Ax=b$ ¶

因为我们现在有了逆矩阵的计算公式，所以对 $Ax=b$ 有 $x=A^{-1}b=\frac{1}{\det A}C^Tb$ ，这就是计算 $x$ 的公式，即克莱默法则（Cramer's rule）。

现在来观察 $x=\frac{1}{\det A}C^Tb$ ，我们将得到的解拆分开来，对 $x$ 的第一个分量有 $x_1=\frac{y_1}{\det A}$ ，这里 $y_1$ 是一个数字，其值为 $y_1=b_1C_{11}+b_2C_{21}+\cdots+b_nC_{n1}$ ，每当我们看到数字与代数余子式乘之积求和时，都应该联想到求行列式，也就是说 $y_1$ 可以看做是一个矩阵的行列式，我们设这个矩阵为 $B_1$ 。所以有 $x_i=\frac{\det B_1}{\det A}$ ，同理有 $x_2=\frac{\det B_2}{\det A}$ ， $x_2=\frac{\det B_2}{\det A}$ 。

而 $B_1$ 是一个型为 $\Bigg[b a_2 a_3 \cdots a_n\Bigg]$ 的矩阵，即将矩阵 $A$ 的第一列变为 $b$ 向量而得到的新矩阵。其实很容易看出， $\det B_1$ 可以沿第一列展开得到 $y_1=b_1C_{11}+b_2C_{21}+\cdots+b_nC_{n1}$ 。

一般的，有 $B_j=\Bigg[a_1 a_2 \cdots a_{j-1} b a_{j+1} \cdots a_n\Bigg]$ ，即将矩阵 $A$ 的第 $j$ 列变为 $b$ 向量而得到的新矩阵。所以，对于解的分量有 $x_j=\frac{\det B_j}{\det A}$ 。

这个公式虽然很漂亮，但是并不方便计算。

关于体积（Volume）¶

先提出命题：行列式的绝对值等于一个箱子的体积。

来看三维空间中的情形，对于 $3$ 阶方阵 $A$ ，取第一行 $(a_1,a_2,a_3)$ ，令其为三维空间中点 $A_1$ 的坐标，同理有点 $A_2, A_3$ 。连接这三个点与原点可以得到三条边，使用这三条边展开得到一个平行六面体， $\left|\det A\right|$ 就是该平行六面体的体积。

对于三阶单位矩阵，其体积为 $\det I=1$ ，此时这个箱子是一个单位立方体。这其实也证明了前面学过的行列式性质1。于是我们想，如果能接着证明性质2、3即可证明体积与行列式的关系。

对于行列式性质2，我们交换两行并不会改变箱子的大小，同时行列式的绝对值也没有改变，得证。

接下来在考虑不再是“单位”的立方体，即长方体。假设 $Q$ 矩阵的第一行翻倍得到新矩阵 $Q_2$ ，此时箱子变为在第一行方向上增加一倍的长方体箱子，也就是两个“标准正交箱子”在第一行方向上的堆叠。易知这个长方体箱子是原来体积的两倍，而根据行列式性质3.a有 $\det Q_2=\det Q$ ，于是体积也符合行列式的数乘性质。

我们来看二阶方阵的情形， $\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\c&d\end{vmatrix}$ 。在二阶情况中，行列式就是一个求平行四边形面积的公式，原来我们求由四个点 $(0,0), (a,b), (c,d), (a+c,b+d)$ 围成的四边形的面积，需要先求四边形的底边长，再做高求解，现在只需要计算 $\det A=ad-bc$ 即可（更加常用的是求由 $(0,0), (a,b), (c,d)$ 围成的三角形的面积，即 $\frac{1}{2}ad-bc$ ）。也就是说，如果知道了歪箱子的顶点坐标，求面积（二阶情形）或体积（三阶情形）时，我们不再需要开方、求角度，只需要计算行列式的值就行了。

再多说两句我们通过好几讲得到的这个公式，在一般情形下，由点 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 围成的三角形面积等于 $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\x_2&y_2&1\x_3&y_3&1\end{vmatrix}$ ，计算时分别用第二行、第三行减去第一行化简到第三列只有一个 $1$ （这个操作实际作用是将三角形移动到原点），得到 $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\x_2-x_1&y_2-y_1&0\x_3-x_1&y_3-y_1&0\end{vmatrix}$ ，再按照第三列展开，得到三角形面积等于 $\frac{(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)}{2}$ 。

求逆矩阵¶

求解Ax=b¶

关于体积（Volume）¶

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求解 $Ax=b$ ¶