统计量及其分布¶
总体与样本¶
- 总体
在一个统计问题里，研究对象的全体叫做总体，构成总体的每个成员称为个体。根据个体的数量指标数量，定义总体的维度，如每个个体只有一个数量指标，总体就是一维的，同理，个体有两个数量指标，总体就是二维的。总体就是一个分布，数量指标就是服从这个分布的随机变量。
总体根据个体数分为有限总体和无限总体，当有限总体的个体数充分大时，其可以看为无限总体。
- 样本
- 定义：
从总体中随机抽取的部分个体组成的集合称为样本，样本个数称为样本容量。
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性质：
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二重性：抽取前随机，是随机变量；抽取后确定，是一组数值。
-
随机性：每个个体都有同等的机会被选入样本。
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-
独立性：每个样本的取值不影响其他样本取值，即分部独立。
满足后面两个性质称为简单随机样本，则
F(x_1,x_2,...,x_n)=\prod^n_{i=1}F(x_i),\
f(x_1,x_2,...,x_n)=\prod^n_{i=1}f(x_i),\
p(x_1,x_2,...,x_n)=\prod^n_{i=1}p(x_i)
- 分组样本
只知样本观测值所在区间，而不知具体值的样本称为分组样本。缺点：与完全样本相比损失部分信息。优点：在样本量较大时，用分组样本既简明扼要，又能帮助人们更好地认识总体。
样本数据的整理与显示¶
- 经验分布函数
若将样本观测值x_1,x_2,...,x_n 小到大进行排列，得到有序样本x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq...\leq x_{(n)}，用有序样本定义如下函数
F_n(x)=\left{\begin{matrix}
0 & 当x<x_{(1)}\
k/n & 当x_{(k)}\leq x<x_{(k+1)},k=1,2,...,n-1\
1 & 当x\geq x_{(n)}
\end{matrix}\right.
则称为F_n(x) 该样本的经验分布函数。
- 格里纹科定理
设x_1,x_2,...,x_n 取自总体分布函数为F(x) 样本，F_n(x) 该样本的经验分布函数，则当n\rightarrow+\infty ，有
P(sup_{-\infty<x<+\infty}|F_n(x)-F(x)|\rightarrow0)=1
表明当 n 相当大时，经验分布函数F_n(x) 总体分布函数F(x) 一个良好的近似。它是经典统计学的一块基石。
- 频数频率分布表
有样本x_1,x_2,...,x_n 作频数频率分布表的操作步骤如下：
- 确定组数 k；
- 确定每组组距，通常取每组组距相等为 d（方便起见，可选为整数）；
- 确定组限（下限a_0 小于最小观测值，上限a_k 大于最大观测值）；
- 统计样本数据落入每个区间的频数，并计算频率。
该表能够简明扼要地把样本特点表示出来。不足之处是该表依赖于分组，不同的分组方式有不同的频数频率分布表。
- 直方图
- 利用频数频率分布表上的区间（横坐标）和频数（纵坐标）可作为频数直方图；
- 若把纵坐标改为频率就得频率直方图；
- 若把纵坐标改为频率/组距，就得到单位频率直方图。这时长条矩形的面积之和为 1.
- 茎叶图
把样本中的每个数据分为茎与叶，把茎放于一侧，叶放于另一侧，就得到一张该样本的茎叶图。比较两个样本时，可画出背靠背的茎叶图。茎叶图保留数据中全部信息，当样本量较大，数据很分散，横跨二、三个数量级时，茎叶图并不适用。
统计量及其分布¶
- 统计量
不含未知参数的样本函数称为统计量。统计量的分布称为抽样分布。
- 样本均值
-
定义：
样本x_1,x_2,...,x_n 算数平均值称为样本均值，记为\bar{x}.分组样本均值\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_if_i，其中 n 为样本量，k 为组数，x_i f_i 第 i 组的组中值和频率，分组样本均值是完全样本均值的一种较好的近似。
样本均值是样本的位置特征，样本中大多数值位于\bar{x} 右。平均可消除一些随机干扰，等价交换也是在平均数中实现的。
-
性质：
- \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})=0，样本数据x_i 样本均值\bar{x} 偏差之和为零；
- 样本数据x_i 样本均值\bar{x} 偏差平方和最小，即对任意的实数 c 有\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\leq \sum_{i=1}^n(x_i-c)^2;
- 若总体分布为N(\mu,\sigma^2)，则\bar{x} 精确分布为N(\mu,\sigma^2/n)；
- 若总体分布未知，但其期望\mu 方差\sigma^2 在，则当 n 较大时，\bar{x} 渐进分布为N(\mu,\sigma^2/n)，这里渐进分布是指 n 较大时的近似分布。
- 样本方差与样本标准差
样本方差有两种，s_^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2，后者为无偏方差，也是最常用的。（这是因为当\sigma^2 总体方差时，总有E(s_^2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2,E(s^2)=\sigma^2，表明s_*^2 系统偏小的误差，s^2 此系统偏差。）称\sqrt{s^2} 样本标准差。
样本方差是样本的散布特征，s^2越大样本越分散，s^2 小分布越集中，样本标准差比样本方差使用更频繁，因为前者和样本均值有着相同的单位。
s^2 计算有如下三个公式可供选用：
s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n-1}[\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}]=\frac{1}{n-1}(\sum x_i^2-n\bar{x}^2)
在分组样本场合，样本方差的近似计算公式为
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^kf_i(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^k f_ix_i^2-n\bar{x}^2)
其中 k 为组数，x_i,f_i 别为第 i 个区间的组中值与频数，\bar{x} 分组样本的均值。
- 样本矩及其函数
- 样本的 k 阶原点矩a_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^k，样本均值\bar{x} 样本的一阶原点矩；
- 样本的 k 阶中心距b_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^k，样本方差s^2 s_*^2 为样本的二阶中心矩；
- 样本变异系数C_r=s/\bar{x}；
- 样本的偏度\hat{\beta_s}=b_3/b_2^{3/2}，反映样本数据与对称性偏离程度和偏离方向；
- 样本的峰度\hat{\beta_k}=\frac{b_4}{b_2^2}-3，反映总体分布密度曲线在其峰值附近的陡峭程度和尾部粗细.
- 次序统计量及其分布
设x_1,...,x_n 取自某总体的一个样本，x_{(i)} 为该样本的第 i 个次序统计量（升序排序后，第 i 个样本）。
- x_{(1)}=min{x_1,...,x_n} 为该样本的最小次序统计量；
- x_{(n)}=max{x_1,...,x_n} 为该样本的最大次序统计量；
- (x_{(1)},x_{(2)},...,x_{(n)}} 为该样本的次序统计量，即不独立也不同分布；
- R=x_{(n)}-x_{(1)} 为样本极差。
设总体X 密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x_1,...,x_n 样本，则有 - 样本第 k 个次序统计量x_{(k)} 密度函数为
f_k(x)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x);
- 样本第 i 个与第 j 个次序统计量的联合密度函数为
f_{ij}(y,z)=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}(F(y))^{i-1}(F(z)-F(y))^{j-i-1}(1-F(z))^{n-j}f(xy)f(z),\quad y\leq z, 1\leq i<j\leq n
- 样本中位数与样本分位数
设x_1,...,x_n 取自某总体的样本，x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq ...\leq x_{(n)} 该样本的次序统计量，则样本中位数m_{0.5} 义为
m_{0.5}=\left{\begin{matrix}
x_{(\frac{n+1}{2})} & n为奇数\
\frac{1}{2}(x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2}+1)}) & n为偶数
\end{matrix}\right.
样本的 p 分位数m_p 义为
m_{p}=\left{\begin{matrix}
x_{[np+1]} & np不是整数\
\frac{1}{2}(x_{(np)} + x_{(np+1)}) & np是整数
\end{matrix}\right.
其中[x]表示向下取整。中位数对样本的极端值有抗干扰性，或称有稳健性。
样本分位数的渐近分布：设总体的密度函数为f(x)，x_p 总体的 p 分位数。若p(x) x_p 连续且p(x_p)>0，则当 n 充分大时，有
m_p\sim N(x_p,\frac{p(1-p)}{n\cdot p^2(x_p)}),\
m_{0.5}\sim N(x_{0.5},\frac{1}{4n\cdot p^2(x_{0.5})})
- 五数概括与箱线图
五数指用样本的五个次序统计量，即最小观测值，最大观测值，中位数，第一 4 分位数和第三 4 分位数。其图形为箱线图，可描述样本分布形状。
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